31p + 1 est-il carré ? - Corrigé

Énoncé

Existe-t-il des nombres premiers \(p\) tels que \(31p+1\) soit un carré parfait ?

Solution

Soit \(p\) un nombre premier tel que \(31p+1\) soit un carré parfait, c'est-à-dire qu'il existe un entier \(a\) supérieur ou égal à \(8\) tel que \(31p+1=a^2\) (on peut supposer que \(a \geqslant 8\) car \(31p+1 \geqslant 31 \times 2+1=63\) et \(8^2=64\) est le plus petit carré d'un entier positif supérieur ou égal à \(63\) ).

On a alors
\(\begin{align*}31p+1=a^2& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 31p=a^2-1\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 31p=(a+1)(a-1)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ p=\frac{(a+1)(a-1)}{31}\end{align*}\)  

Comme \(31\) est un nombre premier, \((a+1)\) ou \((a-1)\) est un multiple de \(31\) , autrement dit il existe \(k \in \mathbb{N}^\ast\) tel que \(a+1=31k\) ou \(a-1=31k\) .

Ainsi, on a  \(\begin{align*}31p+1=a^2& \ \ \Longleftrightarrow \ \ p=k(a-1) \ \text{ou} \ p=k(a+1)\end{align*}\) .

On en déduit que  \(p\) est un nombre premier divisible :

• soit par \(k\) et \(a-1\) ;
• soit par \(k\) et \(a+1\) .

Ce qui implique nécessairement que \(k=1\) (car \(a+1>a-1 \geqslant 7>1\) ).

• Dans le cas où \(p=k(a-1)=a-1\) ,
  on a \(a+1=31\) , c'est-à-dire \(a=30\) et donc \(p=29\) est bien premier.
• Dans le cas où \(p=k(a+1)=a+1\) ,
  on a \(a-1=31\) , c'est-à-dire \(a=32\) et donc \(p=33\) n'est pas premier.

Finalement, seul \(p=29\) convient.

Réciproquement, on observe que :  \(31 \times 29+1=900=30^2\) .